Необходимое условие устойчивости САР, достаточное только для систем 1-ого и 2-ого порядков
Чтобы корни ХУ имели отрицательные вещественные части, необходимо чтобы все его коэффициенты были положительны. Однако это условие является достаточным только для систем 1-ого и 2-ого порядков. Док-во:
ХУ
a0 s n + a1
s n-1 + ... + an-1 s + an
= 0 ,
представим в виде:
a0 (s - s1) (s
- s2) ... (s - sn-1) (s
- sn) = 0 ,
где: s1, s2, ... sn-1, sn - корни.
В устойчивой системе вещественные части корней отрицательны. Подставим такие корни: s1= -a1; s2 = -a2; s34 = -a3±jb ... :
a0(s+a1)(s+a2)(s+a3-jb)(s+a3+jb) ... = a0(s+a1)(s+a2)((s+a3)2+b2) ... = 0
Если раскрыть скобки и вернутся к стандартному виду ХУ, то все коэффициенты уравнения получатся положительными.
