Теория систем автоматического регулирования

Измерительные алгоритмы идентификации частотных характеристик моделей и систем


Процедуры идентификации ЧХ, основанные исключительно на спектральном или гармоническом анализе результатов измерений входного и выходного сигналов, имеют особую ценность в программах математического моделирования. Они обеспечивают наиболее эффективные и адекватные переходы от абстрактных математических моделей к проектируемым физическим прототипам и обратно, а так же являются одним из не многих инструментов оценки адекватности функционирования самих моделирующих программ в режиме симуляции.

Универсальных алгоритмов измерений ЧХ нет. Существуют три вида ограничений, которые порождают семейства методов измерений ЧХ, которые в той или иной степени могут быть оптимальными для исследования трех классов идентифицируемых линейных объектов (см. рис.). К упомянутым ограничениям относятся:

Невозможность использования дельта-воздействий для объектов с эффектами насыщения.

Затруднения в расширении диапазона частот свыше "трехдекадного барьера".

Большие временные затраты на расширение динамического диапазона ниже уровня шума.

Если на вход системы подать весь спектр частот с единичными амплитудами, то определение частотной ПФ на основе измерительной информации упрощается:

W( jw) = Y( jw)/X( jw) | X( jw)=1

= Y( jw) .

Подобный единичный спектр имеет дельта-функция Дирака

d(t). Реакция же систем на дельта-функцию называется функцией веса w(t), поэтому частотную ПФ можно получить вычислением её Фурье-изображения:

W( jw) = FT { w(t) } ,

или же, для дискретных сигналов:

W [ jkw] = DFT { w[n] } = n=0N-1 еw[n] е -jkwnT .

где: w – частота первой гармоники в спектре сигнала длинной в NT выборок; k – порядковый номер гармоники (независимая переменная); N – число выборок функции веса w[n] (обычно кратно степени двойки); k Ј N/2.

Подобный подход используется в простейших алгоритмах идентификации ЧХ и достаточно легко реализуется в любых математических программах:

document.write('');

Схема измерения частотных характеристик посредствам обработки импулсьной характеристики модели системы алгоритмом быстрого преобразования Фурье
Измерения частотных характеристик выполнены для двух дискретных фильтров с конечной импульсной характеристикой (FIR). Операция быстрого преобразования Фурье (нижний график) выполнена библиотечным блоком осциллограф

программы VisSim (в свойствах блока осциллограф активирован режим вычисления БПФ для осциллограммы)



Измерения частотных характеристик выполнены для модели колебательного звена и инверсного фильтра Чебышева десятого порядка, т.е. для двух непрерывных систем с бесконечной импульсной характеристикой (IIR)

Сравнивая приведенные на рисунках ЧХ КИХ и БИХ-фильтров, легко понять суть "трехдекадного барьера" (присущего алгоритмам на базе БПФ), который проявляется при частотном анализе БИХ-фильтров, чьи ЧХ представляются в логарифмическом масштабе по оси частот. Очевидно, что, в этом случае, кратная двойке сетка анализируемых гармоник в выходном массиве процедуры БПФ ограничивает разрешение по частоте в НЧ диапазоне. Увеличение частотного диапазона на декаду требует увеличения времени симуляции в десять раз.

При измерении ЧХ реальных систем использование дельта-функции невозможно. Её замещают либо суперпозицией синусоид, либо белым шумом, либо другим сигналом конечной амплитуды. Основным методом расширения динамического диапазона ниже уровня шума является усреднение результатов повторных измерений. В случае использования алгоритмов измерения ЧХ на базе ДПФ для ослабления эффекта наложения частот используют методику взвешивания массива измерительной информации окнами Бартлета, Хэмминга, с хэннингом, Блэкмана, Хариса и т.д.


Содержание раздела